Ce este Teorema Medianei? Într-un triunghi, mediana este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Se învață proprietăți legate de lungimi și simetrie.
Teorema medianei
Hai să explicăm Teorema medianei pas cu pas, clar, cu definiție, explicație geometrică, formulă de calcul, schiță și aplicații practice.
Definiția medianei
Într-un triunghi, mediana este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.
👉 De exemplu, în triunghiul A B C:
- dacă M este mijlocul laturii B C,
- atunci mediana din vârful A este segmentul A M.
Proprietăți importante ale medianei
- Orice triunghi are trei mediane (câte una din fiecare vârf).
- Toate medianele se intersectează într-un singur punct, numit centrul de greutate al triunghiului (notat cu G).
- Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul 2:1, numărând de la vârf:
AG:GM=2:1
4. Mediana este și un ax de simetrie în triunghiurile isoscele, pentru vârful unghiului principal.
Teorema medianei (formula de calcul)
Dacă un triunghi are laturile a,b,c iar mediana m a este trasată din vârful opus laturii a, atunci:
\[ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 – a^2} \]Această formulă se aplică și pentru mb , mc , prin permutarea laturilor.
Demonstrație intuitivă
Folosind teorema cosinusului și proprietățile mijlocului de segment:
- Se consideră triunghiul ABC și punctul M mijlocul laturii BC .
- Aplicând teorema cosinusului în triunghiurile formate de mediana AM , se obține expresia de mai sus.
Scrie un comentaru